sexta-feira, 10 de junho de 2011

A importância da Matemática

       O uso diário da aritmética e a apresentação de informações através de gráficos, são um lugar comum no nosso dia a dia. Estes são os aspectos elementares da matemática. A matemática avançada é amplamente usada mas, freqüentemente, de um modo invisível e inesperado. A matemática dos códigos de correção de erros é aplicada a aparelhos CD e a computadores. As fotos estonteantes de longínquos planetas enviadas pelo Voyager II não poderiam ter sua clareza e sua qualidade sem esta matemática. A jornada do Voyager aos planetas não poderia ter sido calculada sem a matemática das equações diferenciais.                                                                                     Sempre que se diz que avanços são feitos com super-computadores, tem que ter uma teoria matemática que instrui o computador sobre o que deve ser feito, desse modo permitindo a ele que aplique sua capacidade de rapidez e exatidão.
                  O desenvolvimento dos computadores foi iniciado nos Estados Unidos pelos matemáticos e lógicos, que continuam a dar importantes contribuições à teoria da ciência da computação. A próxima geração de softwares requer os métodos matemáticos mais recentes daquela que é chamada teoria das categorias, uma teoria de estruturas matemáticas que tem trazido novas perspectivas aos fundamentos da matemática e da lógica. As ciências físicas (química, física, oceanografia, astronomia) requer matemática para o desenvolvimento de suas teorias. Em ecologia, a matemática tem sido usada quando se estudam as leis da dinâmica populacional. A estatística fornece teoria e métodos para a análise de muitos tipos de dados. A estatística também é essencial em medicina, para a análise de dados das causas de doenças e da utilidade de novas drogas. A viagem de avião não teria sido possível sem a matemática dos fluxos de ar e do controle de sistemas. Scanners de corpo são a expressão de matemática sutil, descoberta no Século 19, que torna possível a construção de uma imagem do interior do objeto a partir da informação de um certo número de visualizações dele por meio de raios-X. Assim, a matemática é freqüentemente envolvida com as questões de vida e de morte. Estas aplicações têm sido desenvolvidas freqüentemente a partir do estudo de idéias gerais por si mesmas: números, simetria, área e volume, taxa de variação, forma, dimensão, aleatoriedade, e muitas outras. A matemática faz contribuições especiais ao estudo destas idéias, a saber os métodos de definições precisas; argumentos cuidadosos e rigorosos; representação de idéias por meio de vários métodos, incluindo símbolos e fórmulas, figuras e gráficos; métodos de cálculo; e a obtenção de soluções precisas de problemas claramente enunciados, ou afirmações claras dos limites do conhecimento. Estas características permitem à matemática fornecer um fundamento sólido a muitos aspectos da vida cotidiana, e oferecer uma compreensão das complexidades inerentes a situações aparentemente muito simples. Por estas razões matemática e cálculo têm sido associados desde os primeiros tempos. Nos tempos modernos, a necessidade de cálculos matemáticos muito rápidos em tempos de guerra, particularmente em balística, e em decodificação, foi um forte estímulo para o desenvolvimento do computador eletrônico. A existência de computadores de alta velocidade agora ajuda os matemáticos a calcular e a visualizar situações como nunca antes. Estes cálculos também se desenvolveram do cálculo numérico ao cálculo simbólico, e atualmente ao cálculo das próprias estruturas matemáticas. Este último é muito recente, e parece estar levando a uma grande transformação. Estas capacidades mudam, não a natureza da matemática, mas o poder do matemático, que aumenta talvez um milhão de vezes a possibilidade de compreender, de questionar e de explorar.
Existe também uma interação no sentido contrário. A noção de computação não teria adquirido sentido sem a Matemática, e foi a análise dos métodos matemáticos feita pelos matemáticos que levou à noção de computador programável.
De fato, dois matemáticos, von Neumann nos Estados Unidos e Turing na Inglaterra, são conhecidos como os pais dos computadores modernos. A análise da computação, e as tentativas de torná-la tão confiável quanto possível, precisa de Matemática profunda, e esta necessidade está aumentando. Um computador, a menos que seja programado, é nada mais do que uma caixa de metal, vidro, silício, etc. A programação expressa algoritmos de uma forma adequada para o computador. A Matemática é necessária como uma linguagem para a especificação, para a determinação do que é que deve ser feito, como e quando, e para a verificação de que os programas e os algoritmos funcionam corretamente. A Matemática é essencial para o uso correto dos computadores na maioria das aplicações e as necessidades matemáticas da computação têm originado muitas questões novas e excitantes.

Por que estudar Matemática?

A principal razão para se estudar a matemática de nível avançado é que ela é interessante e prazerosa.
As pessoas gostam de sua característica desafiadora, de sua clareza, e do fato de que você pode saber se está certo ou não.
A solução de um problema provoca uma excitação e uma satisfação. Você vai encontrar todos estes aspectos em um curso de nível superior. Você também deve estar ciente da enorme importância da matemática, e do modo como ela está avançando numa velocidade espetacular.
Matemática é sobre padrões e estruturas; ela é sobre análise lógica, dedução, cálculo dentro de padrões e estruturas. Quando os padrões são encontrados, freqüentemente em muitas áreas diferentes da ciência e da tecnologia, a matemática destes padrões pode ser usada para explicar e controlar situações e acontecimentos naturais.
A matemática tem uma influência persuasiva em nossas vidas cotidianas, e contribue para a riqueza do país.

quinta-feira, 9 de junho de 2011

Desafio=D

Você tem um lobo, um carneiro e uma cesta de repolho, e precisa levar todos eles para o outro lado do rio. Porém, o seu barco só pode levar um de cada vez. Mas, se você deixar o lobo e o carneiro sozinhos, o lobo comeria o carneiro. Se deixar o carneiro e a cesta de repolho, o carneiro comeria a cesta de repolho. Como você os levará até o outro lado do rio?
    


Resposta:

Uma solução é a seguinte:
1) Leve o carneiro
2) Leve o lobo e traga de volta o carneiro
3) Leve a cesta de repolho
4) Leve o carneiro
Outra solução:
1) Leve o carneiro
2) Leve a cesta de repolho e traga de volta o carneiro
3) Leve o lobo
4) Leve o carneiro

Desafio=)

ocê tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma.





Resultado

Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de estrela. Dessa maneira existirão 5 filas, e cada fila possuirá 4 soldados.


Desafios

Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

Resposta:


Essa questão é realmente muito boa!
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez
MARCOS sobe 1 degrau por vez.
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor).
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação:
28+X  =  (14+X)+(7+(X/2))
28+X  =  21+(3X/2)
28-21  =  (3X/2)-X
7 = X/2
X = 14
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total):
28+14 = 42 degraus
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo:
(14+X)+(7+(X/2))  =  (14+14)+(7+14/2)  =   28+14  =  42 degraus
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!!

A História da Matemática

Por volta dos séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na Babilônia.

Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada.

Na Babilônia, a matemética era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais.





Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V A.C., na Grécia.

A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.

Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.

Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.

As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.

O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.

As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.

Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".

Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.

Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).

Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.

No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.

Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.

A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.

Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.

Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.

Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.

Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular".

Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.

Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultaram em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.

Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).

A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.

No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.

Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).

Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.

É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento.

Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".

Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.

No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.

A grande descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.

Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática.

Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.

Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática.

Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei.

Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.

O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz.

A Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática.






Seduzidos por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas.

Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência.

Não tardaram as consequências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições.

Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:

S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........

supondo que se tenha um nº infinito de termos.

Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:

S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0

Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:

S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3

O que conduz a resultados contraditórios.

Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característicos dos matemáticos daquela época, que se acharam então num "beco sem saída'.

Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática.

Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática.

Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris.

Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".

Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.

Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901.

A Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos.

Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com radicais.

Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?

Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução.

À medida em que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível.

No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais.

O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números.

Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor.

R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte".

Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a.

A partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que ficam dada vez mais abstratas.

Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas.

Os entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que neste últimos cinquenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores.

Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência".

A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.

quarta-feira, 8 de junho de 2011

Curiosidades da Matemática








A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria.

Aqui vai uma delas... Pegue num lápis e numa folha de papel.



1- Escreva os 3 primeiros algarismos de seu telefone (não vale o indicativo 91, 96, 21 ou 22 ou 26...);

2- Multiplique por 80.

3- Some 1.

4- Multiplique por 250.

5- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.

6- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.

7- Diminua 250.

8- Divida por 2.



Reconhece o resultado?

Curiosidade

Você sabe o que são números pitagóricos?

 São três números inteiros que servem de medida para os lados de um triângulo retângulo.


Mais informações entre no site:
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/numeros-pitago


Ilusão de Ótica











Desenvolvido a partir de um esboço de Maurits Cornelis Escher.
 
A água está descendo ou subindo?

Exercitando o cérebro


 Quantas patas tem esse elefante?
Quantas patas tem este elefante?

Exercitando o cérebro

E quanto a dois ‘B’s dentre os ‘R’s?
Exercícios para o Cérebro e Ilusão de Ótica

Os pensamentos de Pitágoras



  1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens.
  2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si.
  3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.
  4. O que fala semeia; o que escuta recolhe.
  5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.
  6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.
  7. Todas as coisas são números.
  8. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.
  9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.
  10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.
  11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.
     12. Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça                                                                  consiste em cometê-las

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     Biografia

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.
Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.
Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.
Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.
Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terrasobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio dageometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.
Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C.

Pitágoras


Teorema de Pitágoras

Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.
Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:
1^2 + 1^2 = x^2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}
Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".
A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

Academia de Pitágoras


 Apresento a Vocês o Maior Matemático de todos os tempos      PITÁGORAS